在生活中，我们总是会遇到各种各样的投票选举，比如，如何投票选举成为最受欢迎的科普公众号？

班级竞选中，你如何脱颖而出竞选成为班长？

中二所公众号成立十周年，哪个专栏会被选为“最受欢迎的专栏”？

当然，非常胶着的2024年美国大选也在此列。

而这些选举投票过程总是进行得如火如荼，竞争异常激烈，每当面对如此情况，小编不禁在想：有没有方法能够帮助速通选举过程，顺利选举成功？

小编仔细思索了一番，你别说，你还真别说。就拿班级选举班长这事来说，如果把同学们看成是一个个自旋粒子，虽然有亿点点牵强，说不定还真能够帮助在座各位未来竞选成功(bushi）。

事不宜迟，那么现在小编就给大家奉上一份《物理系选举秘籍》。

从伊辛模型看选举迷局

如果我们将同学想象为自旋粒子，每个粒子可以处于“支持”（↑）或“反对”（↓）的状态，且会受到周围其他粒子的影响，那么有没有什么模型可以简洁地描述这种情况呢？

这题小编可太熟悉了！那就是伊辛模型啊！

伊辛模型是统计物理中迄今为止唯一的一个同时具备：表述简单、内涵丰富、应用广泛这三种优点的模型。

让我们简单地来描述一下伊辛模型，可以考虑如下图所示的晶格世界：

伊辛模型

假设第i个节点是一个小磁针，每个小磁针有上下两种状态，我们用Sᵢ来表示这个状态，并且

表示磁针朝上或者朝下，网格上相邻的两个小磁针可以发生相互作用。

举一个更通俗的例子，假设有一个班级要选班长，是张三还是李四？这时，我们可以把每一个小磁针看作一个同学，他的意见可以是张三或者李四，每个同学当然有自己的想法，但同时会受到周围四个同学的影响。也就是说，每个同学投票可能是倾向于和同桌相同，但也可能是按照自己的意愿来投票。每过一个周期，同学就会看看同桌的决定，然后再来确定自己的选票，这样系统不断演化，就会得到一个动态的结果。

如果同学的独立选择倾向越高，系统就会演化得非常随机；如果独立倾向性低，则系统会演化到所有同学都只选择某一个选择上；存在一个临界的倾向性，系统展现出高度的复杂性：每个同学会对到底选张三还是李四而犹豫不决，反复改变。

当然，实际选举过程中多多少少有些外界的影响，就像伊辛模型中的两个参数，外加磁场强度H和温度T。我们可以从体系总能量和涨落的角度来看看这两个参数的影响。

我们可以定义总能量：

其中，J为一个能量耦合常数，求和下标 表示对所有相邻的两个小磁针进行求和，H是外加磁场强度。如果两个相邻节点的小磁针的方向一致，则系统的总能量减J，否则如果不同就加J。外界还可能存在磁场，如果小磁针方向与外场方向一致，则能量也会降低。

同时，小磁针处于噪声环境中，热涨落又会引起小磁针的状态随机反转。我们可以用温度 T 来衡量这种环境影响的随机性。T越高，则小磁针发生反转的概率就会越大。

这样小磁针就会收到两种力的拉扯，一种力来自于近邻小磁针和外磁场对它的影响，当小磁针的方向倾向于和近邻磁针以及外磁场保持一致时，系统的总能量达到最低。另一种力来自环境噪声的扰动，它迫使小磁针无视邻居的作用而发生随机的状态反转。于是，每个小磁针就挣扎于这两种不同的力量之间。

用选班长的例子来说，系统的总能量就相当于同学观点的冲突数量，如果相邻同学的意见不同，冲突数就+1，反之则-1。而外磁场H相当于候选人的宣传，如果同学的观点和宣传一致，那么冲突就越少，整个班级就越和谐。而温度的作用则恰恰相反，温度越高，同学选择观点越独立和随机，不受自己周围同学的影响；否则同学的选择严重依赖于同桌和宣传。

选举结果的出现本质上是对称性破缺

从伊辛模型的例子我们不难看出：当温度低于某个临界点以下时，小磁针会自发地选择同一个方向进行磁化，就会形成铁磁性。换句话说，就是在外界的某个条件下，大部分的同学的意见会倾向一致，都选择同一个候选人作为班长。

而这就是一种对称性破缺，不过在此之前，我们需要先从几何上理解对称和它的破缺。

自然界和人类生活中，我们都很熟悉“对称”，都在追求对称之美，比如故宫、教堂以及冬天的雪花等等。

自然界和人类社会中存在的对称

而几何上的对称性破缺则是说，如果我们把完美的对称性视为在所有操作下都不变的球体（可以很高维）的话——即意味着它在任何时空都是永恒的，那么第一次对称性破缺就是相对于时间的对称性。就像下面这幅图的左图所示，简单到二维情况，当对称性破缺时，就会形成各种各样的多边形（正四边形、三角形和长方形…），随着破缺程度越大，就产生了越来越多的各种四边形。

左图：几何图形中的对称性破缺，右图：粒子的自发对称破缺

而对称性破缺的结果就是降低了自由度，我们就拿一个立着的棍子来说明，如果棍子是圆柱形的，那么它就有可能向所有方向倒下，但是如果是它破缺成长方体的，那就只有四个方向的可能了。

说明白了几何上的对称破缺，我们再来看看凝聚态物理中的对称性破缺。右图就是粒子的自发对称性破缺，处于草帽顶端的小球，它保持着旋转对称性，且能量相对较高，当它被扰动时，就可能使圆球滚落到帽沿底部的任意位置，以此降低到低能量状态——这将使旋转对称性被打破，即圆球在帽沿底部的位置不具有旋转对称性。

而这种自发对称性破缺也可以和相变联系，相变是指物质从一种相转变为另一种相的过程，以水为例子，气态水、液态水和冰分别对应水的气、液、固三态，水在这三种状态之间的转变就是相变过程。而在这一过程中，水会出现体积的变化和热量的吸收和释放，这也就是一级相变。

而朗道将从高对称到低对称的相变过程成为对称破缺，可能与我们的直觉相反，“对称性”和“有序性”两者是相反的关系。越有序的结构，对称性反而越低。

我们还是以水的相变为例来分析一下，从对称性来看，液相水分子处于无序排列的状态，在每个水分子周围距离相同的位置上，其他原子占据的几率是相同的，因此具有较高的对称性；而冰中水分子形成了周期性排列，它是各向异性，相对液相在晶格结构上对称性较低。

而从有序性来考虑，液态中的水分子不断做着随机且无规则的布朗运动，处于完全无序的状态，有序性很低，而冰中的水分子则是高度有序的。

根据朗道的理论，从液态水到冰的相变过程就是“对称破缺”，而有序性提高的过程。

在发生相变时，体积不变化的情况下，也不伴随热量的吸收和释放，只是热容量、热膨胀系数和等温压缩系数等的物理量发生变化，这一类变化称为二级相变。例如铁磁顺磁相变、零磁场下金属超导态和正常态的转变等。

铁磁顺磁相变

而以铁为例，铁原子具有磁矩（也可以看成我们上文说的小磁针），温度降低时，小磁针方向一致，有序性变高，对称性破缺，表现为铁磁性；当温度升高时，小磁针方向的随机性会变得越来越强，温度超过某一临界值时，磁矩的排列完全失去了同向性，有序性变低，对称性很强，表现为顺磁性。

因此，回到选班长的例子上，当班级选举的结果出来时，也算得上对称性破缺。

世界就是一个巨大的混沌系统！

在产生了一个对称性破缺的前提下，这些要素或主体之间就可能发生局部相互作用，从而使得系统产生出某种形式的整体秩序，这就是自组织，在社会科学中也被称为自发秩序。

而全局磁化现象就是典型的自组织现象，因为没有外部强制力，系统内部的相互作用促使了全局有序态的形成。

在物理、化学、生物、神经等各种领域，比如沙子的阻塞行为、候鸟的集群行为和湍流等，都是自组织的产物。

自组织现象

如果我们把注意力放回到选举班长的例子上来，可以发现班长的选举和结果也具有自组织的特点。

而自组织也可以产生混沌系统，混沌系统是对于其初始位置和动量的测量如果有极其微小的不精确，也会导致对其的长期预测产生巨大的误差。它有如下的特点：

1.非线性：混沌系统通常是由多个非线性的变量组成的，这使得系统不会按照线性发展，而是会出现复杂的、非线性的动力学行为，而这正好符合选举这种社会化的事件特点；

2.对初值的敏感依赖性：初始条件的任何微小的变化都会导致混沌系统最终演化为完全不同的轨迹，比如蝴蝶效应。1963年，气象学家爱德华 · 洛伦兹提出了一个简化的大气对流模型：

从此将人们对于混沌系统的研究推向了高潮。他又用更为诗意的解释，“一只南美亚马逊流域中的蝴蝶扇动了翅膀，将可能引起美国两周以后德克萨斯州的龙卷风”。因此，混沌又被形象地成为“蝴蝶效应”；

3.确定性和随机性的结合：混沌系统在短期内表现出随机性和不可预测性，但在长期演化中仍保持着一定的确定性，这种确定性和随机性的结合使得混沌系统的行为兼具规律性和随机性；

4.自组织性和分形特征：混沌系统在混沌状态下展现出自组织形态和复杂结构，呈现出自相似性和分形特征。

而且混沌现象在很多系统中都被观测到，心脏紊乱、湍流、电路、水滴，还有许多其他看似无关的现象。

而对于班级选举这类事件，由于同学们的意见会受到自己的周围同学、班级宣传等因素的影响，以及在选举过程中出现的突发事件都有可能影响最后的选举结果，因为，班级选举也具有一些典型的混沌的特点。

通过本篇选举秘籍，我们发现选举不仅看起来比较胶着，实际上本质就是非常混沌！

好了，秘籍就到此结束了！

现在，你学会了吗？下次选举的时候，相信你一定能够脱颖而出！

参考文献

[2] L.D.Landau，On the theory of phase transitions，1937

[3]《相变和临界现象》

[4] P. W. Anderson,More Is Different.Science177,393-396(1972).

还记得我们之前成立十周年的调查问卷吗？我们不仅让大家投了票，也收集了大家想对我们说的话：

对于大家的祝福和期待，我们非常感动，也更加动力满满！同时也感谢大家的喜欢和支持！我们也会更加努力！

在这里我们也选择了几条有代表性的留言：

1作为一个高中物理老师简直太喜欢这个公众号了，既能科普也能获得乐趣，特别最近看了你们的科学节，真的很想把你们的每一个小摊位都让学生参与进来，增加他们对物理的兴趣

答：非常感谢您作为一名高中物理老师对我们的肯定和支持！很高兴您喜欢“科学节”这一系列活动，并希望学生们能积极参与其中，相信通过这种互动活动，物理可以变得更生动、有趣。

2 高中时热爱物理的我刷到物理所的公众号，从此经常阅读发布的内容，也踏上我的物理之路。有一次在高中选修课上，我讲解了改变世界的物理公式，就是来自本公众号的内容。后来上大学，我选择了物理专业，由选拔进入了物理所和我们学校。联合承办的严济慈班。后来在公众号发布的科研进展内容，我看到了一个非常感兴趣的研究方向，今年9月我已经被物理所录取为研究生，来到了那个我喜欢的研究方向的课题组。一切都是那么的有缘，感谢物理所公众号的陪伴！

答：我们的所做的事情就是种下一颗颗科学的种子，现在看到种子萌芽成长我们也非常开心！看到你从高中时对物理的热爱萌芽，到在课堂上分享知识，再到如今成功进入物理所攻读你心仪的研究方向，我们真的为你感到由衷的骄傲。

3前段时间乒乓球那期印象比较深刻。用很基础的知识（除了最后有一点涉及到叉积运算）来分析日常生活中遇得到的问题，解释现象。可能大家都学过很多知识，但运用知识解决问题感觉这是大部分学生所欠缺的。我觉得这会对一些同学有所启发，原来所学的东西是可以这样用的。其实就是想说，你们有蛮多文章挺好的hh

答：非常感谢你对我们团队的支持和鼓励！学以致用是学习的核心，我们希望将物理知识与生活现象结合，帮助大家不仅掌握概念，还能体会到这些知识在实际中的趣味与应用。再次感谢你的留言和认可！

4 我希望能多多开展点问答解答栏目，希望能对像我这种在校生提出的“低级”问题能够有详细和通俗的解答。并开展追问专栏，让那些没有一次性听懂回答的人也可以一直追问下去，直到问到事情的本源

答：非常感谢你的宝贵建议！物理学习的过程正是不断探索、发问、追问的过程，能解答并陪伴大家深入理解每一个问题，是我们愿意持续努力的方向。

5 2017年，无意间看到了关于如何证明e（好像是π）是无理数，瞬间感受到了一类庞大的知识体系疯狂拥入我的脑海，充分激发了我对数学学科的兴趣。今天，我坐在图书馆里，复习着数学分析和高等代数，朝着更深层次的数学迈进。感谢有你

答：你的留言让我们倍感欣慰和感动！能够在你对数学和科学的探索道路上扮演一个小小的助力角色，是我们的荣幸。从初遇无理数的惊奇，到如今扎实钻研数学分析和高等代数，你的成长和追求无疑让我们深受鼓舞。感谢你的支持，愿你学有所成！

编辑：悦悦

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